# 箭头 · 映射、蕴含与交换图

> 函数的 \to、蕴含的 \Rightarrow、映射元素的 \mapsto、带标签的 \xrightarrow——箭头在数学里既表方向也表逻辑。这一章按用途列全，并讲清单箭头与双箭头、短箭头与长箭头的区别。

- 作者：David（道雾轩）
- 专栏：LaTeX 完全上手指南（https://daiw.org/manual/latex.md）
- 最后更新：2026-07-13
- 原文：https://daiw.org/manual/latex/arrows
- 转载与引用：请注明出处并附原文链接（https://daiw.org/about/copyright）

# 箭头 · 映射、蕴含与交换图

箭头在数学里身兼数职：表示**函数**($f: A \to B$)、**趋向**($x \to 0$)、**逻辑蕴含**($P \Rightarrow Q$)、**元素映射**($x \mapsto x^2$)，以及范畴论交换图里那些带标签的连线。命令虽多，但规律清晰：**单线 vs 双线、短 vs 长、要不要带标签**。

## 水平箭头：最常用的一批

| 命令 | 效果 | 名称 / 用途 |
| --- | --- | --- |
| `\to` | $\to$ | 到（函数、趋向，最常用） |
| `\rightarrow` | $\rightarrow$ | 右箭头（同 `\to`） |
| `\leftarrow` | $\leftarrow$ | 左箭头 |
| `\leftrightarrow` | $\leftrightarrow$ | 双向 |
| `\Rightarrow` | $\Rightarrow$ | 蕴含（推出） |
| `\Leftarrow` | $\Leftarrow$ | 被蕴含 |
| `\Leftrightarrow` | $\Leftrightarrow$ | 当且仅当 |
| `\mapsto` | $\mapsto$ | 映射到（元素级） |
| `\longrightarrow` | $\longrightarrow$ | 长右箭头 |
| `\longmapsto` | $\longmapsto$ | 长映射箭头 |

<Callout type="info">
  **`\to` 与 `\mapsto` 别混。** `f: A \to B`($A \to B$)说的是「函数 f 从集合 A 到集合 B」；`x \mapsto x^2`($x \mapsto x^2$)说的是「元素 x 被映到 x²」。一个连**集合**、一个连**元素**，配套使用：$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$。**单线箭头 `\to` 表映射，双线箭头 `\Rightarrow` 表逻辑推出**，也别搞反。
</Callout>

## 逻辑专用：\implies 与 \iff

写推理时，`\implies`（推出）和 `\iff`（当且仅当）比 `\Rightarrow` / `\Leftrightarrow` **两边间距更大**，更适合连接两个完整命题：

| 命令 | 效果 | 场合 |
| --- | --- | --- |
| `\implies` | $\implies$ | 命题间推出（间距大） |
| `\iff` | $\iff$ | 命题间等价（间距大） |
| `\Rightarrow` | $\Rightarrow$ | 紧凑蕴含 |

比较：$P \implies Q$（`P \implies Q`，舒展）和 $P \Rightarrow Q$（`P \Rightarrow Q`，紧凑）。连接大段命题用前者，行内紧凑记号用后者。

## 带标签的箭头：\xrightarrow

范畴论、映射链里，箭头**上面要写映射名**（比如 $A \xrightarrow{f} B$）。用 `\xrightarrow{标签}`——箭头会**自动伸长**以容纳标签：

| 你敲的 | 效果 |
| --- | --- |
| `\xrightarrow{f}` | $\xrightarrow{f}$ |
| `\xrightarrow{\phi}` | $\xrightarrow{\phi}$ |
| `\xleftarrow{g}` | $\xleftarrow{g}$ |
| `A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C` | $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ |

还能加**下标**（箭头下方也写字）：`\xrightarrow[下]{上}`。这是画映射链、交换图的主力。

## 竖直与斜向箭头

| 命令 | 效果 | 命令 | 效果 |
| --- | --- | --- | --- |
| `\uparrow` | $\uparrow$ | `\downarrow` | $\downarrow$ |
| `\updownarrow` | $\updownarrow$ | `\Uparrow` | $\Uparrow$ |
| `\nearrow` | $\nearrow$ | `\searrow` | $\searrow$ |
| `\nwarrow` | $\nwarrow$ | `\swarrow` | $\swarrow$ |

斜箭头 $\nearrow$ / $\searrow$ 常用来标「单调递增 / 递减」。

## 特殊箭头：钩、双头、鱼叉

| 命令 | 效果 | 用途 |
| --- | --- | --- |
| `\hookrightarrow` | $\hookrightarrow$ | 嵌入（单射） |
| `\twoheadrightarrow` | $\twoheadrightarrow$ | 满射 |
| `\rightarrowtail` | $\rightarrowtail$ | 单射 |
| `\rightleftharpoons` | $\rightleftharpoons$ | 可逆 / 化学平衡 |
| `\leadsto` | $\leadsto$ | 引出 / 归约 |

代数里这套很讲究：$\hookrightarrow$ 表示「嵌入（单射）」、$\twoheadrightarrow$ 表示「满射」——箭头的样子直接编码了映射的性质。

## 小结与下一章

箭头按用途记：映射用单线 $\to$ `\to`（集合级）、$\mapsto$ `\mapsto`（元素级）；逻辑用双线 $\Rightarrow$ `\Rightarrow`，连接命题用 $\implies$ `\implies` / $\iff$ `\iff`；带标签用 $\xrightarrow{f}$ `\xrightarrow{f}`。记住「单线映射、双线逻辑」这条主线，就不会乱。

数学里还有一大批「单词式」的符号——$\sin$、$\log$、$\lim$、$\det$、$\gcd$——它们是**函数名与算子**，有专门的写法和间距规矩。下一章讲透，并教你用 `\operatorname` 造自己的算子。👉 [函数与算子：sin、log、lim 与自定义算子](https://daiw.org/manual/latex/functions-operators)。

## 参考文献

- [1] Overleaf.「List of Greek letters and math symbols — Arrows.」https://www.overleaf.com/learn/latex/List_of_Greek_letters_and_math_symbols —— 箭头符号表。
- [2] KaTeX.「Supported Functions — Extensible Arrows / Arrows.」https://katex.org/docs/supported.html#arrows —— 本站可用箭头与 `\xrightarrow`。