# 巨算符 · 求和、求积、积分与极限

> 求和 \sum、求积 \prod、积分 \int、极限 \lim 这些「巨算符」，共同点是带上下限、且在行内行间排法不同。这一章讲清上下限怎么放、为什么积分限在侧边而求和限在上下，以及如何用 \limits 和 \displaystyle 掌控它。

- 作者：David（道雾轩）
- 专栏：LaTeX 完全上手指南（https://daiw.org/manual/latex.md）
- 最后更新：2026-07-13
- 原文：https://daiw.org/manual/latex/big-operators
- 转载与引用：请注明出处并附原文链接（https://daiw.org/about/copyright）

# 巨算符 · 求和、求积、积分与极限

$\sum$、$\prod$、$\int$、$\lim$——这类符号 LaTeX 里叫**巨算符(big operator)**。它们有两个共同特点：**个头大**（比普通符号高），以及**带上下限**（求和从哪到哪、积分上下界）。这一章讲清它们的上下限怎么摆、行内行间为什么不一样，以及怎么按需掌控。

## 求和与求积

上下限就是巨算符的**上标和下标**——用你已经熟悉的 `^` 和 `_`：

```latex
$$ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} $$
```

$$ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} $$

注意上下限跑到了 $\sum$ 的**正上方和正下方**——这是**行间模式**的排法。同一个式子写在行内 `$\sum_{i=1}^{n} i$`，效果 $\sum_{i=1}^{n} i$，上下限缩到了**右侧**，以免撑高行距。**同一个命令，行间上下、行内侧边**，这是巨算符最要理解的一点。

常用巨算符一览：

| 命令 | 效果 | 名称 |
| --- | --- | --- |
| `\sum` | $\sum$ | 求和 |
| `\prod` | $\prod$ | 求积 |
| `\coprod` | $\coprod$ | 余积 |
| `\bigcup` | $\bigcup$ | 并集 |
| `\bigcap` | $\bigcap$ | 交集 |
| `\bigoplus` | $\bigoplus$ | 直和 |
| `\bigotimes` | $\bigotimes$ | 张量积 |
| `\bigvee` | $\bigvee$ | 析取 / 上确界 |
| `\bigwedge` | $\bigwedge$ | 合取 / 下确界 |
| `\bigsqcup` | $\bigsqcup$ | 不交并 |

## 积分：限为什么在「侧边」

积分 `\int` 也带上下限，但有个**惯例上的不同**：即使在行间，积分限默认也排在**右侧**（而非正上下），因为那样更符合传统印刷：

```latex
$$ \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x} \, \mathrm{d}x = 1 $$
```

$$ \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x} \, \mathrm{d}x = 1 $$

多重积分、曲线积分各有命令：

| 命令 | 效果 | 名称 |
| --- | --- | --- |
| `\int` | $\int$ | 积分 |
| `\iint` | $\iint$ | 二重积分 |
| `\iiint` | $\iiint$ | 三重积分 |
| `\oint` | $\oint$ | 曲线积分（闭合） |
| `\oiint` | $\oiint$ | 曲面积分（闭合） |

<Callout type="info">
  积分号后、`\mathrm{d}x` 前那个小空隙，是 `\,`（一个细空格）敲出来的：`\int f(x)\,\mathrm{d}x`。加了它，$\int f(x)\,\mathrm{d}x$ 比不加的 $\int f(x)\mathrm{d}x$ 更透气、更规范。这是积分写法里一个不起眼但专业的细节（间距见 [数学间距一章](https://daiw.org/manual/latex/spacing)）。
</Callout>

## 掌控上下限的位置：\limits 与 \nolimits

不满意默认排法？两个命令强制切换：

- **`\limits`**：强制上下限排在**正上下**。让积分限也上下排：`\int\limits_0^1` → $\int\limits_0^1$。
- **`\nolimits`**：强制排在**右侧**。让求和限也缩到侧边：`\sum\nolimits_{i=1}^n` → $\sum\nolimits_{i=1}^n$。

## 极限、最值：另一类「带下标」的算子

$\lim$、$\max$、$\min$ 这些虽然是**单词**（不是大符号），但排版上和巨算符类似——下标（极限的趋向、最值的范围）在**行间排到正下方**：

```latex
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \max_{1 \le i \le n} a_i $$
```

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \max_{1 \le i \le n} a_i $$

| 命令 | 效果 | 命令 | 效果 |
| --- | --- | --- | --- |
| `\lim` | $\lim$ | `\sup` | $\sup$ |
| `\max` | $\max$ | `\inf` | $\inf$ |
| `\min` | $\min$ | `\limsup` | $\limsup$ |
| `\gcd` | $\gcd$ | `\liminf` | $\liminf$ |

（这些「函数名式算子」和 `\sin`、`\log` 是一家，下一站的 [函数与算子](https://daiw.org/manual/latex/functions-operators) 会系统讲。）

## 行内也想「大而全」：\displaystyle

在行内文字里，你偶尔希望某个求和 / 积分**大大方方地带上下限**显示，而不是缩成一小坨。用 `\displaystyle` 局部强制行间样式：

| 你敲的 | 效果 |
| --- | --- |
| `\sum_{i=1}^{n}` | $\sum_{i=1}^{n}$（行内默认，小） |
| `\displaystyle\sum_{i=1}^{n}` | $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}$（强制大） |

代价是这一行会被撑高，所以别滥用——通常真需要展示的公式，直接写成行间 `$$...$$` 更合适。

## 小结与下一章

巨算符的要点：**上下限就是 `^` `_`；行间排上下、行内排侧边；积分限默认侧边，用 `\limits` / `\nolimits` 可强制切换；行内想放大用 `\displaystyle`。** 求和、积分、极限这几个天天见的构造，就拿捏住了。

到目前为止，符号都还「素面朝天」。数学里还常给字母**戴帽子**——估计值 $\hat{y}$、向量 $\vec{v}$、均值 $\bar{x}$、导数 $\dot{x}$。这些「数学重音」是下一章。👉 [数学重音：帽子、箭头与横线](https://daiw.org/manual/latex/math-accents)。

## 参考文献

- [1] Overleaf.「Integrals, sums and limits.」https://www.overleaf.com/learn/latex/Integrals,_sums_and_limits —— 巨算符与上下限。
- [2] KaTeX.「Supported Functions — Big Operators.」https://katex.org/docs/supported.html#big-operators —— 本站可用巨算符。