# 分数与根式 · frac 与 sqrt

> 分数 \frac{a}{b}、根式 \sqrt{x}、开 n 次方 \sqrt[n]{x}、二项式系数 \binom{n}{k}——这一章讲全，顺带说清行内 \frac 为什么显得小、\dfrac 与 \cfrac 各解决什么问题。

- 作者：David（道雾轩）
- 专栏：LaTeX 完全上手指南（https://daiw.org/manual/latex.md）
- 最后更新：2026-07-13
- 原文：https://daiw.org/manual/latex/fractions-roots
- 转载与引用：请注明出处并附原文链接（https://daiw.org/about/copyright）

# 分数与根式 · frac 与 sqrt

分数和根号，是数学公式里出现频率最高的构造之一。命令很好记——`\frac`、`\sqrt`——但「行内分数为什么那么小」「连分数怎么排」「根号里套根号」这些细节，值得一次讲清。

## 分数：`\frac{分子}{分母}`

`\frac` 后面**两个花括号**，先分子后分母：

| 你敲的 | 效果 |
| --- | --- |
| `\frac{1}{2}` | $\frac{1}{2}$ |
| `\frac{a+b}{c-d}` | $\frac{a+b}{c-d}$ |
| `\frac{\partial f}{\partial x}` | $\frac{\partial f}{\partial x}$ |
| `\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}` | $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ |

分子分母只要不止一个字符，记得用 `{}` 打包（和 [上下标](https://daiw.org/manual/latex/superscript-subscript) 一个道理）。

## 行内为什么「小一号」：\dfrac 与 \tfrac

同一个 `\frac`，在行内和行间**大小不同**：行内会被压小以免撑高行距。写在正文里的 $\frac{1}{2}$ 明显比行间的小。有时你希望行内分数也**大大方方**地显示，用 `\dfrac`（display frac，强制行间大小）；反过来，想在行间里塞一个**小分数**，用 `\tfrac`(text frac):

| 命令 | 行内效果 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| `\frac{1}{2}` | $\frac{1}{2}$ | 默认，行内自动缩小 |
| `\dfrac{1}{2}` | $\dfrac{1}{2}$ | 强制大号，行内也舒展 |
| `\tfrac{1}{2}` | $\tfrac{1}{2}$ | 强制小号 |

<Callout type="info">
  背后是 LaTeX 的**样式(style)**机制：公式有 `displaystyle`（大）和 `textstyle`（小）之分，行间默认前者、行内默认后者。`\dfrac` / `\tfrac` 就是**局部**切换这个样式。同样地，想让行内的求和 $\sum$、积分也显示成「大号带上下限」，可以用 `\displaystyle`（见 [巨算符一章](https://daiw.org/manual/latex/big-operators)）。
</Callout>

## 连分数：\cfrac

普通 `\frac` 层层嵌套会越缩越小、越挤越乱。**连分数**专用 `\cfrac`，保持每一层一样大、对齐美观：

```latex
$$ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}} $$
```

$$ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}} $$

对比一下，同样的式子用嵌套 `\frac` 会挤成一团。写连分数（数论、逼近论常见），认准 `\cfrac`。

## 根式：\sqrt

`\sqrt{}` 是平方根，根号会**自动包住**里面的内容、自动变长：

| 你敲的 | 效果 |
| --- | --- |
| `\sqrt{2}` | $\sqrt{2}$ |
| `\sqrt{x^2 + y^2}` | $\sqrt{x^2 + y^2}$ |
| `\sqrt{\frac{a}{b}}` | $\sqrt{\frac{a}{b}}$ |

**开 n 次方**用可选参数 `[n]`，写在根号左上角：

| 你敲的 | 效果 |
| --- | --- |
| `\sqrt[3]{x}` | $\sqrt[3]{x}$ |
| `\sqrt[n]{x}` | $\sqrt[n]{x}$ |
| `\sqrt[4]{x^2+1}` | $\sqrt[4]{x^2+1}$ |

注意 `[n]` 是**方括号**、`{x}` 是**花括号**，别写反。嵌套根号也不怕：`\sqrt{1+\sqrt{2}}` → $\sqrt{1+\sqrt{2}}$，根号会自动错开层次。

## 二项式系数：\binom

组合数（n 选 k）用 `\binom{n}{k}`，渲染成一个**不带横线**的「上下叠加 + 大括号」：

| 你敲的 | 效果 |
| --- | --- |
| `\binom{n}{k}` | $\binom{n}{k}$ |
| `\binom{n}{2}` | $\binom{n}{2}$ |
| `\dbinom{n}{k}` | $\dbinom{n}{k}$（强制大号） |

和分数一样，`\binom` 也有 `\dbinom`（大）/ `\tbinom`（小）控制尺寸。它和 `\frac` 长得像，区别就是**没那条横线**——别用 `\frac` 加括号硬凑组合数，`\binom` 才是正解。

## 什么时候用斜线 a/b 而不是 \frac

不是所有分数都该用 `\frac`。**简单的、放在行内的比值，用斜线 `/` 往往更好看、更省空间**：「$1/2$ 的概率」比「$\frac{1}{2}$ 的概率」在一行文字里更顺眼，也不会撑高行距。经验：**行间的、复杂的分数用 `\frac`；行内的、简单的比值用 `/`。**

## 小结与下一章

分数记住 `\frac`（以及行内想大用 `\dfrac`、连分数用 `\cfrac`），根式记住 `\sqrt` 和开 n 次方的 `\sqrt[n]{}`，组合数记住 `\binom`——数学里最日常的几个构造就齐了。

分数、根式里经常要套括号，而数学括号有个大学问：**它得能随内容自动变高**。$\left(\dfrac{a}{b}\right)$ 里那对能「长大」的括号怎么来的？下一章讲定界符。👉 [定界符：会自动变高的括号](https://daiw.org/manual/latex/delimiters)。

## 参考文献

- [1] Overleaf.「Fractions and binomials.」https://www.overleaf.com/learn/latex/Fractions_and_binomials —— 分数、连分数、二项式系数。
- [2] KaTeX.「Supported Functions.」https://katex.org/docs/supported.html —— `\frac` / `\sqrt` / `\binom` 及尺寸变体。