# 符号微分 · 机械的规则

> 符号求导是符号计算里最「顺」的操作：一组有限的规则，机械地递归应用，总能算、还精确。这一章看 SymPy 的 diff、高阶与偏导，并说清它和数值微分的天壤之别，以及它如何长成了深度学习的引擎——自动微分。

- 作者：David（道雾轩）
- 专栏：符号计算的艺术（https://daiw.org/manual/symbolic-computing.md）
- 最后更新：2026-07-14
- 原文：https://daiw.org/manual/symbolic-computing/symbolic-diff
- 转载与引用：请注明出处并附原文链接（https://daiw.org/about/copyright）

# 符号微分 · 机械的规则

进入微积分的符号版。第一站是**求导**，而它有个让人愉快的性质：**简单**。我们在[「计算即重写」](https://daiw.org/manual/symbolic-computing/term-rewriting)那章已经剧透过——求导不过是几条规则递归地作用在[树](https://daiw.org/manual/symbolic-computing/expression-tree)上。这一章把它讲全，并揭示它一个了不起的现代身份。

## diff：总能算，还精确

SymPy 的 `diff` 求导，信手拈来：

```python
from sympy import *
x, y = symbols('x y')

print(diff(sin(x**2), x))          # 2*x*cos(x**2)         —— 链式法则
print(diff(exp(x)*sin(x), x))      # exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)   —— 乘积法则
print(diff(x**3, x, 2))            # 6*x                   —— 二阶导(求两次)
print(diff(x**2 * y**3, x, y))     # 6*x*y**2              —— 混合偏导 ∂²/∂x∂y
```

链式、乘积、幂、偏导、高阶……全都手到擒来，而且**结果精确**。这背后没有任何近似——就是[那五条规则](https://daiw.org/manual/symbolic-computing/term-rewriting)（和的导数=导数的和、乘积法则、幂法则、链式法则……）**机械地**递归到底。

<Callout type="info">
  **求导是「可判定、可机械化」的典范：任何初等函数，求导规则都是有限的、确定的，一步步套下去，一定能得到答案。** 没有搜索、没有猜测、没有「算不出来」。这和下一章的**积分**形成刺眼的对比——那里没有万能规则，有些函数甚至根本没有初等原函数。**求导易如反掌，积分举步维艰**——这个不对称是微积分符号版最迷人的主题。
</Callout>

## 和数值微分，天壤之别

还记得孪生专栏里[数值微分那章](https://daiw.org/manual/numerical-computing/differentiation)的痛苦吗？用差商 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 近似导数，$h$ 太大不准、太小又被[灾难性抵消](https://daiw.org/manual/numerical-computing/cancellation)反噬，误差呈 U 形，存在一个尴尬的「最优 $h$」。符号微分**把这些痛苦一扫而空**：

| | 数值微分 | 符号微分 |
| --- | --- | --- |
| 怎么算 | 差商近似 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ | 套求导规则 |
| 要选步长 $h$ 吗 | **要**，还很难选 | **不用** |
| 精度 | 有截断 + 抵消误差（U 形） | **精确，无误差** |
| 给出的是 | 某一点的一个近似数 | **整个导函数的公式** |
| 局限 | 每点都得重算、误差难控 | 表达式可能[膨胀](https://daiw.org/manual/symbolic-computing/expression-swell) |

符号微分给的不是「$x=1$ 处导数约等于 $0.54$」，而是**整条导函数** $\cos x$——精确、解析、放之四海。当你需要的是**公式**（而非某点的一个数）时，符号微分无可替代。

## 它的现代身份：自动微分

符号微分最耀眼的地方，是它悄悄长成了**深度学习的引擎**。训练神经网络要对上百万参数求梯度，靠的是**自动微分（automatic differentiation, autodiff）**——而 autodiff 的灵魂，正是符号微分那套**求导规则**：

<Callout type="info">
  **自动微分 = 把符号求导的链式法则，施加到「计算图」上。** 神经网络的前向计算是一张由加、乘、`exp`、`max` 等运算搭成的[树 / 图](https://daiw.org/manual/symbolic-computing/expression-tree)。反向传播做的，就是**沿着这张图，机械地套链式法则**，把梯度一层层传回去——和符号微分**同一套规则**。

  区别只在工程手法：纯符号微分会把导数写成一个**大表达式**（容易[膨胀](https://daiw.org/manual/symbolic-computing/expression-swell)）；而 autodiff **一边算数值、一边套规则**，复用中间结果，避免了表达式爆炸。可以说，**autodiff 是符号微分规则 + 数值求值的联姻**——[PyTorch](https://daiw.org/manual/pytorch-internals)、JAX、TensorFlow 每天在 GPU 上跑的，正是这门古老符号手艺的现代化身。求导规则的机械性，是整个深度学习得以自动化的根基。
</Callout>

## 小结与下一章

**符号微分是机械、可判定、精确的**：一组有限的求导规则递归套用，链式 / 乘积 / 高阶 / 偏导皆信手拈来（`diff`），给出的是**整条导函数**而非某点近似——彻底摆脱[数值微分](https://daiw.org/manual/numerical-computing/differentiation)的步长与 U 形误差之苦。它更是**自动微分**的灵魂：把链式法则施加到计算图上，撑起了整个深度学习。

求导这么顺，积分呢？下一章你会撞上一堵墙：**积分没有万能规则，有的函数根本没有初等原函数，而计算机能证明这一点**。这堵墙背后，是符号积分深刻而美丽的理论——Risch 算法。👉 [符号积分：为什么难得多](https://daiw.org/manual/symbolic-computing/symbolic-integration)。

## 参考文献

- [1] SymPy 文档.「Calculus: Derivatives.」https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/calculus.html
- [2] Baydin et al.「Automatic Differentiation in Machine Learning: a Survey.」*JMLR*, 2018. —— 符号微分与 autodiff 的关系。
- [3] Griewank & Walther.《Evaluating Derivatives》—— 自动微分权威。