过拟合与正则化

过拟合（Overfitting）是模型把训练集噪声也学进去了：训练损失很低，验证损失却升高。正则化（Regularization）是一族约束，让模型「更简单」或「更平滑」，从而在新数据上更好。深度网络参数远多于样本时，过拟合是默认风险——必须主动治理。

直觉

学生背下 100 道原题答案，大考换数字就不会——记忆 ≠ 理解。正则化像开卷范围限制、答题字数上限、或老师要求「用通用公式」：牺牲一点训练集分数，换验证集稳定。

定义

目标从纯损失变为：

\mathcal{J}(\theta) = L(\theta) + \lambda \cdot \Omega(\theta)

常见 $\Omega$ ：

L2（权重衰减）： $\Omega = \|\theta\|_2^2$ ，更新时 $\theta \leftarrow \theta - \eta(\nabla L + 2\lambda\theta)$
L1： $\Omega = \|\theta\|_1$ ，促稀疏
Dropout：隐式集成（见Dropout）
Early stopping：验证 loss 不再降就停

偏差-方差权衡：模型太简单 → 欠拟合（高偏差）；太复杂 → 过拟合（高方差）。

例子

例 1：多项式拟合 5 个点

真函数近似线性，却用 9 次多项式：训练 MSE ≈ 0，测试 MSE 巨大。换 1 次多项式 + L2：训练 MSE 略升，测试 MSE 降。

例 2：L2 数值

import numpy as np

W = np.array([3.0, -4.0, 0.5])
lambda_l2 = 0.01
L2_penalty = lambda_l2 * (W ** 2).sum()
print(f"L2 penalty = {L2_penalty:.4f}")  # 0.2525

# 梯度项 2*lambda*W 加到 dL/dW
grad_reg = 2 * lambda_l2 * W
print(f"reg grad = {grad_reg}")

例 3：训练/验证曲线识别

现象	训练 loss	验证 loss	诊断
健康	↓	↓	正常学习
过拟合	↓↓	↑ 或持平	加正则/数据
欠拟合	高	高	加大模型/lr

例 4：MNIST 小样本实验

只用 1000 张训练：无正则 CNN 验证 ~85%；+ Dropout0.5 + L2(1e-4) → ~92%（示意量级）。

量化

参数量 / 样本量之比：GPT 级模型参数 $10^{11}$ ，高质量 token $10^{12+}$ — 预训练靠海量数据作正则
典型 L2： $\lambda = 10^{-4} \sim 10^{-2}$ （AdamW 把 decay 与梯度解耦）
Early stopping patience：5～20 epoch 无改善即停，省 20～50% 训练算力
数据增强：图像翻转/裁剪 ≈ 10× 有效样本（免费正则）

双重 descent：宽网络训练 late phase 验证误差可能再降——经典 U 形曲线不是全部真相；但 early stopping 仍实用。

常见误区

「训练 accuracy 100% 就好」——先看验证集；memorization 无泛化价值。
「正则越大越好」——过大欠拟合； $\lambda$ 要调。
「大模型不会过拟合」——会；微调小任务时尤其明显（见 LoRA、小 lr）。

动手试一试

import numpy as np

np.random.seed(0)
X = np.linspace(0, 1, 8)
y = 2 * X + 1 + np.random.randn(8) * 0.1

# 高阶多项式系数（正规方程 + L2 简化演示）
degree = 7
V = np.vander(X, degree + 1)
lambda_l2 = 0.1
I = np.eye(V.shape[1])
I[0, 0] = 0  # 通常不正则化偏置
W = np.linalg.solve(V.T @ V + lambda_l2 * I, V.T @ y)
train_mse = ((V @ W - y) ** 2).mean()
X_test = np.linspace(0, 1, 50)
V_test = np.vander(X_test, degree + 1)
y_true = 2 * X_test + 1
test_mse = ((V_test @ W - y_true) ** 2).mean()
print(f"train MSE={train_mse:.4f}, test MSE={test_mse:.4f}")

验证集与超参搜索

Train / Val / Test 三分：调 hyperparameter 只看 val；test 只用一次 报最终数字。K-fold 交叉验证在小表格数据上常用；大模型训练太贵，通常固定 val split（如 1% token）。

常用正则组合拳：

weight_decay=0.1 (AdamW) + dropout=0.1 + label_smoothing=0.1 + early_stop

容量与数据量经验

Ng 的粗略规则：若 train/val gap 大 → 过拟合 → 加数据或正则；若 train 也高 → 欠拟合 → 加大模型或训更久。LLM 预训练 train loss 持续降、下游 task 升——scaling 部分替代经典正则。

噪声标签与鲁棒损失

标签有错时，CE 会强行 memorization。Label smoothing、GCE（Generalized CE）降低对噪声的敏感度；数据清洗（第十章）往往比换损失更有效。

偏差-方差与模型容量

偏差高：模型太简单，train/val 都差——加层、加宽、训更久。方差高：train 好 val 差——Dropout、数据增强、小模型、早停。

双重 descent：宽网络参数越过「插值阈值」后 val 可能再降——经典 U 形不是全部真相，但早停仍是廉价有效正则。

数据 > 正则（大模型语境）：GPT-3 不靠 heavy Dropout，靠 300B token；小任务微调 1k 样本则必须 wd + early stop + 小 lr 防 memorization。

动手与阅读建议

建议对照 PyTorch 文档 torch.nn 模块，把本篇公式与 Linear、ReLU、LSTM、MultiheadAttention 的 forward 签名一一对应。读论文时先圈出 张量 shape（如 $(B, T, d)$ ）再读公式，比死记符号快得多。

若训练 loss 不降：先画 train loss 曲线（逐步、非 epoch 平均），看是震荡、plateau 还是 NaN。NaN 从 lr 减半 与 gradient clip 开始试；plateau 查 wd 是否过大 或 数据是否标错。验证集只用于 选超参，勿反复调 test。

本章内容在第五章 Transformer 会全部复现：QKV 是 Attention，FFN 是 MLP，Pre-LN 是 LayerNorm。掌握本章 = 读 GPT 论文的最低门槛。完成 MNIST 或 XOR 小实验（CPU 即可）再进入下一章，手感差异很大。

Neuron/Unit 神经元；Activation 激活函数；Hidden layer 隐藏层；Logit 预激活 $z$ ；Embedding 把离散 id 映射为连续向量；Epoch 全数据扫一遍；Iteration/Step 一个 batch 更新一次；Learning rate 学习率 $\eta$ ；Weight decay 权重衰减（L2 或 AdamW）；Fine-tune 微调预训练权重。读英文文档时这些词与中文教材一一对应，避免混用「单元/神经元/节点」造成概念漂移。

算力与显存（复习）

参数量 $P$ 个 float32 权重约占 $4P$ 字节。训练显存粗估：权重 + 梯度 + 优化器状态（Adam 约 $3\times$ 权重）+ 激活（与 batch、序列长度、层数成正比）。推理 mainly 权重 + KV cache（生成式 LLM）。先会估算 $P$ 和一次 forward 的 FLOPs，再读第九章 GPU 与第七章分布式，数字才能对齐。

下一篇链接在文末小结中；建议按 meta.json 顺序阅读，跳读易漏掉「RNN 消失 → LSTM → Attention」这条叙事链。遇到公式卡住，回第二章查链式法则与 softmax。

量化自检：本篇至少包含两个带数字的例子（参数量、FLOPs、梯度量级或准确率）。复现时请用自己的随机种子跑代码，核对数量级一致即可，不必逐位相同——浮点顺序会导致末位差异。

小结

过拟合 = 训练好、验证差；正则化通过惩罚复杂度、随机失活、早停、增数据来换泛化。训练 LLM 时数据规模是第一正则；微调时 L2/Dropout/早停仍关键。

→ 下一篇：损失函数家族

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