多比特与张量积 · 两个 qubit 的状态空间 · 写给程序员的量子计算

多个 qubit 的状态，用张量积拼成一个 2ⁿ 维的向量。这一章讲清张量积怎么算、n 个 qubit 为什么装下 2ⁿ 个振幅，以及 Qiskit 那个让无数人读错状态的 qubit 排序（小端序）——用代码一次说清。

多比特与张量积 · 两个 qubit 的状态空间

单个 qubit 的把戏再花哨，也谈不上「算力」。真正的量子计算要多个 qubit 协同。这一章讲清：多个 qubit 的状态怎么表示，以及一个害人无数的实操陷阱——Qiskit 的 qubit 排序。

张量积：把 qubit 拼起来

两个 qubit 的联合状态，用张量积（tensor product，记号 $\otimes$ ） 把各自的状态「拼」起来。四个基础态：

\ket{00},\ \ket{01},\ \ket{10},\ \ket{11}

比如两个都是 $\ket{0}$ 的 qubit，联合态是 $\ket{0}\otimes\ket{0} = \ket{00}$ 。张量积具体怎么算？把左边向量的每个分量，乘上整个右边向量：

\ket{0}\otimes\ket{0} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\cdot\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\\[4pt] 0\cdot\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}

所以两个 qubit 的状态是一个 4 维向量，四个分量正是 $\ket{00},\ket{01},\ket{10},\ket{11}$ 的振幅。推广开：

n \text{ 个 qubit } \Rightarrow 2^n \text{ 维状态向量}

这正是前面说的「 $2^n$ 个振幅」的由来——多 qubit 系统的状态空间，随 qubit 数指数膨胀。

一个「各自独立」的例子

给两个 qubit 各做各的：qubit 0 过 H（叠加），qubit 1 过 X（翻成 1），打印联合状态：

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import Statevector

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)      # qubit 0 → 叠加
qc.x(1)      # qubit 1 → |1⟩
print(Statevector(qc).draw('latex_source'))

它的联合态是各自状态的张量积 $\ket{1}_{q_1}\otimes\ket{+}_{q_0} = \tfrac{1}{\sqrt2}(\ket{10} + \ket{11})$ 。像这样能拆成「各 qubit 状态的张量积」的状态，叫可分离态(product state)——两个 qubit 各过各的、互不牵扯。不是所有多比特态都能这么拆，拆不开的那种，就是下一章的主角：纠缠。

陷阱：Qiskit 的 qubit 排序是「反」的

这是新手最常栽的坑，务必说清：

Qiskit 用「小端序」：qubit 0 是最低位，写在二进制串的最右边。 也就是说，一个状态标成 $\ket{q_2 q_1 q_0}$ ——qubit 0 在最右，和你从左往右数的直觉相反。

举个会让你怀疑人生的例子：一个 2-qubit 线路，只对 qubit 0 施加 X：

qc = QuantumCircuit(2)
qc.x(0)                       # 只翻转 qubit 0
print(Statevector(qc))
# Statevector([0, 1, 0, 0])   → 是 |01⟩,不是 |10⟩!

翻转的是 qubit 0，得到的状态串却是 01（因为 q0 在右边、变成了 1，q1 在左边、还是 0）。测量结果 get_counts() 的比特串同理，也是右边对应 qubit 0。 无数人在这里把状态读反、以为程序错了。记死这条：Qiskit 里，比特串最右边那位 = qubit 0。

[1] Qiskit 官方文档.「Bit-ordering in Qiskit.」https://docs.quantum.ibm.com/guides/bit-ordering —— 小端序的官方说明。
[2] Nielsen & Chuang.《Quantum Computation and Quantum Information》， §1.2 —— 张量积与多比特态。
[3] Michael Nielsen.「Quantum Computing for the Very Curious.」https://quantum.country —— 多 qubit 状态直觉。

多比特与张量积 · 两个 qubit 的状态空间