二分法 · 最笨，但绝不失手 · 数值计算的艺术

解 f（x）=0 的第一个方法：二分法。只要你能给出一个「一正一负」的区间把根夹住，它就保证收敛——每步把区间对半砍。这一章手写它、打印收敛表，并讲清它的取舍：极其可靠，但慢（线性收敛）。

二分法 · 最笨，但绝不失手

进入第二站：求根——解方程 $f(x)=0$ 。很多问题最后都归结到这： $\sqrt{2}$ 是 $x^2-2=0$ 的根，某个方程的平衡点、某条曲线和 x 轴的交点，都是求根。

第一个方法，是最朴素、也最可靠的二分法（bisection）。它的思想小学生都懂，但它揭示了求根的核心张力：可靠 vs 快。

思想：夹住，然后对半砍

二分法基于一个直觉（严格说是介值定理）：如果 $f(a)$ 是负的、 $f(b)$ 是正的，那么 $a$ 和 $b$ 之间一定有个点让 $f=0$ 。 这叫用区间 $[a,b]$ 夹住（bracket） 了一个根。

夹住之后，就不断对半砍：取中点 $c$ ，看 $f(c)$ 的符号——它和哪一端异号，根就在那半边，把区间缩到那半边。每砍一刀，区间宽度减半，根被越夹越紧。

图表加载中…

手写 + 收敛表

用二分法求 $\sqrt{2}$ （即 $x^2-2=0$ 在 $[1,2]$ 上的根）：

import math

def bisection(f, a, b, tol=1e-12):
    fa = f(a)
    steps = 0
    while (b - a) / 2 > tol:
        c = (a + b) / 2
        fc = f(c)
        if fc == 0:
            return c
        if (fa < 0) != (fc < 0):   # fa 和 fc 异号 → 根在左半
            b = c
        else:                      # 同号 → 根在右半
            a, fa = c, fc
        steps += 1
    return (a + b) / 2

root = bisection(lambda x: x*x - 2, 1, 2)
print(root, abs(root - math.sqrt(2)))
# 1.4142135623731...  误差 ~1e-13

打印每一步的「区间宽度 = 误差上界」，看它怎么稳稳地对半缩：

step   中点 c          误差上界(区间半宽)
1      1.500000        2.5e-01
2      1.250000        1.2e-01
3      1.375000        6.2e-02
4      1.437500        3.1e-02
...    ...             每步 ×0.5
40     1.414213562373  4.5e-13

每一步误差上界精确地减半——这是二分法最让人安心的地方：它的进度完全可预测，你甚至能提前算出「要多少步能到某精度」。

取舍：极可靠，但慢

二分法的最大优点是「绝不失手」。 只要初始区间真的夹住了根（端点异号），它保证收敛，不挑函数形状、不需要导数、不会发散。这在下一章那些「快但会翻车」的方法面前，是极其宝贵的稳。

它的缺点是慢。 每步只把误差减半，即「线性收敛」——大约每 $3.3$ 步才多算准一位十进制数（ $\log_2 10 \approx 3.3$ ）。要 12 位精度，得砍约 40 刀。对比下一章牛顿法「每步翻倍正确位数」，二分法确实笨。但笨得可靠——它常被当作兜底 / 打底的方法。

两个实操细节

① 停止条件别贪。 循环条件 (b-a)/2 > tol 里，tol 别设得比机器精度还小——区间小到相邻浮点数的间隔时，中点就再也算不出新值，循环会空转甚至死循环。一个稳妥的 tol 是 $10^{-12}$ 左右（远大于 eps≈2e-16）。

② 用异号判断，别用 f(a)*f(c) < 0。 很多老代码用两个函数值相乘判符号——但 $f(a)$ 、 $f(c)$ 若都很大，相乘会溢出；若都很小，相乘会下溢成 0。上面代码里 (fa < 0) != (fc < 0) 只比符号、不做乘法，更稳。这又是个「等价数学、不等价数值」的小例子。

小结与下一章

二分法：夹住根（端点异号），然后每步对半砍，区间宽度就是误差上界。它绝不失手、进度可预测，但线性收敛、慢（每 3.3 步一位）。实操记住两点：tol 别小于机器精度、用异号判断别用乘积。

二分法慢在「每步只利用了 $f$ 的符号」。如果我们利用 $f$ 的斜率呢？顺着切线滑下去，收敛能快得惊人——每步正确位数翻倍。这就是牛顿法，快，但也更容易翻车。👉 牛顿法：切线的力量，与它翻车的时候。

参考文献

[1] Burden & Faires.《Numerical Analysis》, §2.1 —— 二分法与介值定理。
[2] Cleve Moler.《Numerical Computing with MATLAB》, ch. 4 —— 求根方法概览。
[3] SciPy 文档.「scipy.optimize.bisect.」https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.bisect.html —— 库实现。

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