灾难性抵消 · 两个相近的数相减 · 数值计算的艺术

累积误差是慢性病，灾难性抵消是急性发作：两个相近的数一相减，有效数字当场湮灭，相对误差瞬间放大千万倍。这一章用求根公式的经典翻车现场演示它，并教你怎么重排公式把它绕开。

灾难性抵消 · 两个相近的数相减

上一章的累积误差是「慢性病」——攒很多次才出问题。这一章的灾难性抵消（catastrophic cancellation） 是「急性发作」：一步就能让结果错得面目全非。 它是数值计算的头号杀手，却又极其隐蔽。

症状：相近的数相减，有效数字湮灭

问题出在两个非常接近的数相减。假设你有两个数，各自准确到 16 位有效数字，但它们前 15 位都相同：

\begin{aligned} a &= 1.2345678901234\,\mathbf{5}\ldots \\ b &= 1.2345678901234\,\mathbf{2}\ldots \\ a - b &= 0.0000000000000\,\mathbf{3}\ldots \end{aligned}

相减后，前 15 位那些相同的、可信的数字全抵消没了，只剩最后一位——而那一位恰恰是精度最差、最不可信的。原本 16 位有效数字，一减只剩 1 位，相对误差瞬间放大了 10¹⁵ 倍。数字没变多，可信度崩了。

翻车现场：求根公式

最经典的例子是初中就会背的求根公式 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 。照着写：

import math
def roots_naive(a, b, c):
    d = math.sqrt(b*b - 4*a*c)
    return ((-b + d) / (2*a), (-b - d) / (2*a))

print(roots_naive(1, 1e8, 1))
# (-7.450580596923828e-09, -100000000.0)

两个根，大的那个 $-10^8$ 没问题；可小的那个根应该是 $-10^{-8}$ ，算出来却是 $-7.45\times10^{-9}$ ——错了约 25%！ 为什么？看小根那一支： $-b+\sqrt{b^2-4ac}$ ，当 $b=10^8$ 时， $\sqrt{b^2-4ac}\approx 10^8$ ，于是 $-10^8 + 10^8$ ——两个近乎相等的大数相减，灾难性抵消，精度全丢。

解药：重排公式，绕开减法

抵消不是算不出，是公式写错了。绕开它的思路：别让两个相近的数相减。 对求根公式，诀窍是用韦达定理 $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ ——先用「不抵消」的那一支算出一个根，另一个根用乘除关系反推：

def roots_stable(a, b, c):
    d = math.sqrt(b*b - 4*a*c)
    q = -(b + math.copysign(d, b)) / 2   # 让 b 和 √ 同号相加,绝不抵消
    return (q / a, c / q)                # 另一个根由 x1·x2 = c/a 反推

print(roots_stable(1, 1e8, 1))
# (-100000000.0, -1e-08)                  ← 两个根都对了

关键在 math.copysign(d, b)：让 $b$ 和 $\sqrt{\cdot}$ 取相同符号再相加——同号相加只会越加越大，永远不会抵消。先稳稳算出一个根 $q$ ，另一个根用 $c/q$ 得到，躲开了那个危险的减法。同样的输入，换个写法，小根从错 25% 变成精确。公式没变、数学等价，数值行为天差地别——这就是数值计算的「艺术」。

它藏在很多常见计算里

灾难性抵消防不胜防，几个高频「案发地点」记一下：

方差的朴素公式 $\frac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2$ ：当数据均值大、方差小时，两个大数相减，方差算出来可能是负的（！）。改用两遍算法（先求均值再求偏差平方和）或 Welford 在线算法。
$1 - \cos x$ （x 很小时）： $\cos x \approx 1$ ，相减抵消。改用恒等式 $1-\cos x = 2\sin^2(x/2)$ 。
$\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ （x 很大时）：两个相近的根号相减。改成有理化后的 $\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$ （变成相加，不抵消）。
数值微分 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ： $h$ 很小时 $f(x+h)\approx f(x)$ ，抵消——这是数值微分那章「天生不稳」的根源。

规律：凡是「两个相近的量相减」，就亮红灯。 看到就想：能不能用恒等式、有理化、或换个等价公式，把这个减法消掉？

小结与下一章

灾难性抵消是「两个相近的数相减，有效数字当场湮灭，相对误差爆炸」。求根公式是最经典的翻车现场：朴素写法小根错 25%，用韦达定理 + copysign 绕开减法即精确。它藏在方差、 $1-\cos x$ 、 $\sqrt{x+1}-\sqrt x$ 、数值微分等无数地方——看到「相近的数相减」就警觉，重排公式绕开它。

抵消是「算法」层面的误差放大——换个写法能救。但还有一种放大是问题本身自带的，再好的算法也救不了。区分这两者，是误差分析的最后一块拼图。👉 条件数与稳定性：是问题病态，还是算法不稳。

参考文献

[1] David Goldberg.「What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic.」1991. —— 抵消与求根公式案例。
[2] Nick Higham.《Accuracy and Stability of Numerical Algorithms》, §1.7 —— 抵消的系统分析。
[3] Welford.「Note on a method for calculating corrected sums of squares.」1962. —— 稳定方差算法。

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