精确数 · 有理数、大整数与根式 · 符号计算的艺术

符号计算的底气，是它的数从不四舍五入。1/3 就是 1/3，不是 0.333；50 的阶乘一位不差；√2 平方精确等于 2。这一章讲清 SymPy 的整数（任意精度）、有理数（精确分数）和根式，以及「精确」这件事到底意味着什么。

精确数 · 有理数、大整数与根式

上一章说表达式是树，叶子是符号与数。这一章专看数这类叶子——它是符号计算和数值计算分道扬镳的地方：符号计算里的数，永远精确，从不四舍五入。

有理数：1/3 就是 1/3

数值计算里， $\frac13$ 只能存成 0.3333333333（近似），于是有了 0.1 + 0.2 != 0.3 那个经典的坑。符号计算根本不碰这个坑，因为它用精确的有理数：

from sympy import *

print(Rational(1, 3) + Rational(1, 6))     # 1/2   —— 精确!
print(Rational(1,10) + Rational(2,10) == Rational(3,10))   # True

Rational(1, 3) 是分子 1、分母 3 的精确分数，不是小数。分数相加时，SymPy 通分、约分，给出精确的 $\frac12$ 。数值计算里 0.1+0.2 那 $10^{-17}$ 的误差，在这里压根不会出现——因为这里没有浮点数。

小心 Python 的 /。 在 SymPy 里直接写 1/3 会先被 Python 算成浮点数 0.333…，精确性就丢了。要得到精确有理数，用 Rational(1,3)，或者用 S(1)/3（S 把整数变成 SymPy 对象，于是 / 走符号除法）：

print(1/3)        # 0.3333333333333333   —— Python 浮点,已经不精确
print(S(1)/3)     # 1/3                  —— SymPy 有理数,精确

这是新手最常见的一个坑：精确性从你敲下 / 的那一刻起就可能已经丢了。

大整数：要多大有多大

符号计算的整数是任意精度（bignum）的——不像普通编程语言的 int 有 64 位上限，它能表示要多大有多大的整数，一位都不差：

print(factorial(30))     # 265252859812191058636308480000000
print(Integer(2)**100)   # 1267650600228229401496703205376

$30!$ 有 33 位， $2^{100}$ 有 31 位，普通 64 位整数早就溢出了，而符号计算精确无误地给出每一位。这是数论、密码学、组合计算的刚需——那里的数动辄几百上千位，差一位就全盘皆错。（Python 的内置 int 恰好也是任意精度的，这点上和 SymPy 一致；但多数语言的整数会溢出。）

根式与常数：符号地保留

最能体现「符号」二字的，是无理数。 $\sqrt2$ 、 $\pi$ 、 $e$ 这些没法用有限小数精确写出的数，符号计算干脆不算它们的小数，而是把符号原样保留，让它参与精确运算：

print(sqrt(8))               # 2*sqrt(2)   —— 自动提取出完全平方因子
print(sqrt(2)**2)            # 2           —— 精确,不是 2.0000000001
print(expand((sqrt(2)+1)*(sqrt(2)-1)))   # 1   —— (√2+1)(√2-1)=2-1=1,精确
print(pi.is_irrational)      # True

$\sqrt2$ 保留成符号，于是 $(\sqrt2)^2$ 精确等于 $2$ ， $(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)$ 精确等于 $1$ 。要是用数值算， $\sqrt2\approx1.41421356$ ，平方回去会得到 2.0000000000000004——又是舍入误差。符号计算把这些误差从源头消灭了。

需要小数时：要多少位给多少位

当然，最后你常常还是想要个小数（比如画图、报告结果）。符号计算能在你指定的任意精度下，把符号数转成小数——想要 40 位就给 40 位：

print(N(pi, 40))     # 3.141592653589793238462643383279502884197
print(N(sqrt(2), 50))

注意这和浮点数的区别：浮点数固定 15~16 位有效数字，多了没有；而 N(pi, 1000) 能精确给出 $\pi$ 的前 1000 位。精度由你说了算，这叫任意精度浮点。

精确，意味着什么

回头看，「精确数」给了符号计算三样数值计算给不了的东西：

	数值（浮点）	符号（精确）
$\frac13$	`0.333…`（近似）	$\frac13$ （精确）
$50!$	溢出 / 近似	精确的 65 位整数
$\sqrt2^2$	`2.0000…04`	精确的 $2$
误差	每步累积	完全没有
代价	快、省内存	慢、可能很占内存

没有误差，是符号计算能做代数的前提——你没法在「带随机误差的数」上做因式分解、判断两个式子是否恒等。当然，精确不是免费的：有理数要存分子分母、大整数要存每一位、根式越滚越长，又慢又占内存——这个代价会在表达式膨胀那章找上门来。

小结与下一章

符号计算的数永远精确：有理数（ $\frac13$ 精确，别被 Python 的 / 坑了，用 Rational 或 S(1)/3）、任意精度大整数（ $50!$ 一位不差）、根式与常数（ $\sqrt2,\pi$ 符号保留， $\sqrt2^2$ 精确等于 2）。需要小数时用 N(expr, 位数) 要多少给多少。无误差，是做代数的前提。

树的结构有了、精确的数也有了，那 SymPy 会不会自动把式子化到最简？答案出人意料：只化一部分，而且必须如此。为什么 x+x 自动变 2x，sin²+cos² 却不自动变 1？下一章揭晓，这背后藏着一个深刻的不可能性。👉 自动化简的边界。

参考文献

[1] Donald Knuth.《The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms》—— 任意精度算术与有理数。
[2] SymPy 文档.「Gotchas: Rational, S(), N().」https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/gotchas.html
[3] von zur Gathen & Gerhard.《Modern Computer Algebra》, ch. 5 —— 精确算术的实现。

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