多项式 · 符号计算的主力 · 符号计算的艺术

计算机代数系统里，绝大多数硬核操作最后都落到多项式上。这一章讲清多项式的展开、合并、次数与系数，专门的 Poly 对象，以及最关键的多项式除法——它是下一章 GCD 与因式分解的地基。

多项式 · 符号计算的主力

进入代数引擎。如果说表达式树是符号计算的骨架，那多项式就是它的肌肉——计算机代数里绝大多数硬核算法，最后都归结到多项式的操作：因式分解、解方程、符号积分、Gröbner 基…… 无一例外。先把这块主力吃透。

展开与合并：多项式的两个方向

多项式最基本的两个操作是一对反义词：展开（把乘积乘开）和合并 / 因式分解（把它收拢）。

from sympy import *
x, y = symbols('x y')

print(expand((x + 1)**3))            # x**3 + 3*x**2 + 3*x + 1
print(collect(x**2*y + x**2 + x*y, x))   # x**2*(y + 1) + x*y  —— 按 x 的幂合并

expand 把 $(x+1)^3$ 乘成标准的升幂 / 降幂形式；collect 则把一个多元表达式按某个变量的幂次归拢。这两个是你整理多项式最顺手的工具。

次数与系数：读取多项式的信息

一个多项式，最重要的元数据是次数和系数：

print(degree(x**5 - 3*x + 1, x))          # 5    —— 最高次
print(Poly(3*x**2 + 2*x + 1, x).all_coeffs())   # [3, 2, 1]  —— 各次系数

degree 给最高次数，all_coeffs 从高次到低次列出所有系数。别小看这俩：很多算法（判断线性 / 二次、估计复杂度、选择解法）第一步就是看次数和系数。

Poly 对象：高效的专用表示

你平时写的 x**2 + 2*x + 1 是一棵通用表达式树，灵活但做多项式运算时不够快。SymPy 提供一个专用的 Poly 对象，把多项式存成更紧凑高效的形式：

p = Poly(x**2 + 2*x + 1, x)
print(p)          # Poly(x**2 + 2*x + 1, x, domain='ZZ')

注意那个 domain='ZZ'——它是多项式的「系数从哪个数集来」。 ZZ 是整数、QQ 是有理数、RR 是实数。系数域（coefficient domain）是计算机代数一个核心概念：同一个多项式，在不同的域上，能不能因式分解、GCD 是什么，答案可能完全不同（下一章 $x^2-2$ 在有理数域不可分、在含 $\sqrt2$ 的域可分，就是活例子）。Poly 显式带着域，算得又快又不含糊。

底层实现上，多项式还有稠密（记下每一项，含系数为 0 的）和稀疏（只记非零项）两种表示——像 $x^{1000}+1$ 这种，稀疏表示能省掉中间 999 个零，天壤之别。这些 Poly 都替你管好了。

多项式除法：GCD 与因式分解的地基

整数能做带余除法（ $17 = 5\times3 + 2$ ），多项式也能——而且这是后面一切的地基：

quotient, remainder = div(x**3 - 1, x - 1)
print(quotient, '...', remainder)     # x**2 + x + 1 ... 0

$x^3-1$ 除以 $x-1$ ，商是 $x^2+x+1$ ，余数是 $0$ ——余数为零，说明 $x-1$ 整除 $x^3-1$ ，即 $x-1$ 是它的一个因式。这个「带余除法」是多项式版的欧几里得算法的核心：

就像求两个整数的最大公因数靠反复取余（辗转相除），求两个多项式的最大公因式，也靠反复做多项式除法取余。

下一章的 GCD 与因式分解，全都站在这个「多项式除法」上。多项式除法之于符号代数，就像加减乘除之于算术——最不起眼，却支撑一切。

小结与下一章

多项式是符号计算的主力：展开 expand / 合并 collect 是一对基本方向；degree、all_coeffs 读取次数与系数；专用的 Poly 对象带着系数域（ZZ/QQ/…）高效运算，底层还有稠密 / 稀疏表示之分。最关键的是多项式带余除法 div——它是欧几里得算法、GCD、因式分解的共同地基。

有了多项式除法，我们就能问两个多项式的「公因子」问题了。这把钥匙能打开两扇门：因式分解（把多项式拆成不可约的积）和最大公因式（约分、化简的基础）。下一章一起看。👉 因式分解与最大公因式。

参考文献

[1] von zur Gathen & Gerhard.《Modern Computer Algebra》, ch. 2-4 —— 多项式表示与算术。
[2] Knuth.《TAOCP, Vol. 2》, §4.6 —— 多项式运算。
[3] SymPy 文档.「Polynomials Manipulation Module.」https://docs.sympy.org/latest/modules/polys/index.html

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