替换与模式匹配 · 符号操作的基本动作 · 符号计算的艺术

求导、化简、解方程，底层都是同一个动作：在表达式树里找到一个模式，把它替换掉。这一章讲清 SymPy 的三件基本兵器——subs（替换）、match（模式匹配）、replace（按模式批量替换），它们是下一章「计算即重写」的砖石。

替换与模式匹配 · 符号操作的基本动作

地基搭好了，现在看符号计算最核心的动作。你会发现，无论多花哨的操作，拆到底都是两个字：替换——在表达式树里找到某个部分，换成别的。这一章讲三件实现「替换」的基本兵器。

subs：把符号换成别的

最常用的是 .subs()——把表达式里的某个符号，换成一个值或另一个表达式：

from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
e = x**2 + 2*x + 1

print(e.subs(x, 3))          # 16              —— 把 x 换成数 3(即求值)
print(e.subs(x, y + 1))      # (y+1)**2 + 2*(y+1) + 1   —— 把 x 换成表达式
print((x + y).subs({x: 1, y: 2}))    # 3       —— 一次换多个

subs 就是「代入」。注意它的本质是树操作：在 $e$ 的树里，找到所有 $x$ 叶子，把每个都换成新的子树（数 3、或子树 y+1）。换成表达式时，新子树整个嫁接进去。

更妙的是，subs 不止能换符号，还能换整个子表达式——只要那棵子树在原树里出现：

print((x*y + z).subs(x*y, z))    # 2*z    —— 把子式 x*y 整个换成 z

它在树里找到 x*y 这棵子树，替换成 z，得到 z + z，自动化简成 2*z。这正是化简、变量代换、方程回代的底层机制。

match：在树里认出一个「模式」

subs 要求你精确说出要换什么。但很多时候我们想表达的是一类模式：「任何东西的平方」「 $\sin$ 括号里任意倍的 $x$ 」。这就需要通配符 Wild 和模式匹配 .match()：

a, b = Wild('a'), Wild('b')

print((x**2).match(a**b))          # {a_: x, b_: 2}    —— 认出「a 的 b 次方」
print(sin(2*x).match(sin(a*x)))    # {a_: 2}           —— 认出「sin(a 乘 x)」

Wild('a') 是个通配符，能匹配任意子表达式。.match(pattern) 拿模式去套目标树：套得上，就返回一个字典，告诉你每个通配符匹配到了什么（ $a\to x$ ， $b\to2$ ）；套不上返回 None。

模式匹配是符号计算的「眼睛」。 一条数学规则，比如乘积法则 $(uv)' = u'v + uv'$ ，左边的 $uv$ 就是一个模式（两个任意表达式相乘）。CAS 要应用这条规则，第一步就是用模式匹配在树里认出「这是一个乘积」，并抓出 $u$ 和 $v$ 分别是谁。先「认出」，才能「改写」——这就是下一章的主题。

replace：找出所有匹配，一次换掉

match 只看整棵树是否匹配。实战中我们常要在树的各个角落找出所有符合模式的地方，统统替换——这是 .replace()：

# 把表达式里所有的 sin 换成 cos
print((sin(x) + sin(y)**2).replace(sin, cos))    # cos(x) + cos(y)**2

# 配合 Wild:把任意「平方」换成「立方」
print((x**2 + y**2).replace(a**2, a**3))         # x**3 + y**3

replace 遍历整棵树，每遇到一处匹配 sin(任意) 或 (任意)**2，就地替换。一条「模式 → 替换」的规则，加上 replace 的遍历，就能把一个变换施加到整个表达式。

三件兵器，一个内核

回头看这三件工具，它们其实是同一件事的三个层次：

工具	干什么	一句话
`subs`	把指定的东西换掉	精确替换
`match`	认出符合模式的树，抓出通配符	模式识别
`replace`	找出所有匹配的地方，批量替换	模式识别 + 替换

它们共同指向一个内核：一条规则 =「模式（match 的对象）+ 替换（subs 的动作）」；应用规则 = 在树里找到模式，把它换成替换的样子。 求导规则、三角恒等式、化简规则……全都是这个形状。

小结与下一章

符号操作的基本动作是替换：subs（把指定符号 / 子式换成别的，本质是树的嫁接）、match（用 Wild 通配符在树里认出模式，返回匹配字典）、replace（找出所有匹配处批量替换）。三者合起来定义了「规则 = 模式 + 替换」这个符号计算的原子。

现在，最深刻的一章来了。既然求导、化简、解方程都是「按规则替换」，那我们不妨把这个想法推到底：符号计算的全部，是不是就是「反复应用重写规则」？更进一步——「计算」本身，是不是就是这件事？ 答案是响亮的「是」，它把符号计算、λ 演算、Lisp 和数理逻辑连成了一体。👉 计算即重写：逻辑计算的本质。

参考文献

[1] SymPy 文档.「Manipulation: subs, replace, match, Wild.」https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/manipulation.html
[2] Joel S. Cohen.《Computer Algebra and Symbolic Computation: Elementary Algorithms》, ch. 3 —— 结构上的替换与匹配。
[3] Bruno Buchberger et al.《Symbolic Computation》—— 模式匹配在 CAS 中的角色。

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