巨算符 · 求和、求积、积分与极限 · LaTeX 完全上手指南

求和 \sum、求积 \prod、积分 \int、极限 \lim 这些「巨算符」，共同点是带上下限、且在行内行间排法不同。这一章讲清上下限怎么放、为什么积分限在侧边而求和限在上下，以及如何用 \limits 和 \displaystyle 掌控它。

巨算符 · 求和、求积、积分与极限

$\sum$ 、 $\prod$ 、 $\int$ 、 $\lim$ ——这类符号 LaTeX 里叫巨算符(big operator)。它们有两个共同特点：个头大（比普通符号高），以及带上下限（求和从哪到哪、积分上下界）。这一章讲清它们的上下限怎么摆、行内行间为什么不一样，以及怎么按需掌控。

求和与求积

上下限就是巨算符的上标和下标——用你已经熟悉的 ^ 和 _：

$$ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} $$

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

注意上下限跑到了 $\sum$ 的正上方和正下方——这是行间模式的排法。同一个式子写在行内 $\sum_{i=1}^{n} i$ ，效果 $\sum_{i=1}^{n} i$ ，上下限缩到了右侧，以免撑高行距。同一个命令，行间上下、行内侧边，这是巨算符最要理解的一点。

常用巨算符一览：

命令	效果	名称
`\sum`	$\sum$	求和
`\prod`	$\prod$	求积
`\coprod`	$\coprod$	余积
`\bigcup`	$\bigcup$	并集
`\bigcap`	$\bigcap$	交集
`\bigoplus`	$\bigoplus$	直和
`\bigotimes`	$\bigotimes$	张量积
`\bigvee`	$\bigvee$	析取 / 上确界
`\bigwedge`	$\bigwedge$	合取 / 下确界
`\bigsqcup`	$\bigsqcup$	不交并

积分：限为什么在「侧边」

积分 \int 也带上下限，但有个惯例上的不同：即使在行间，积分限默认也排在右侧（而非正上下），因为那样更符合传统印刷：

$$ \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x} \, \mathrm{d}x = 1 $$

$\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x} \, \mathrm{d}x = 1$

多重积分、曲线积分各有命令：

命令	效果	名称
`\int`	$\int$	积分
`\iint`	$\iint$	二重积分
`\iiint`	$\iiint$	三重积分
`\oint`	$\oint$	曲线积分（闭合）
`\oiint`	$\oiint$	曲面积分（闭合）

积分号后、\mathrm{d}x 前那个小空隙，是 \,（一个细空格）敲出来的：\int f(x)\,\mathrm{d}x。加了它， $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ 比不加的 $\int f(x)\mathrm{d}x$ 更透气、更规范。这是积分写法里一个不起眼但专业的细节（间距见数学间距一章）。

掌控上下限的位置：\limits 与 \nolimits

不满意默认排法？两个命令强制切换：

\limits：强制上下限排在正上下。让积分限也上下排：\int\limits_0^1 → $\int\limits_0^1$ 。
\nolimits：强制排在右侧。让求和限也缩到侧边：\sum\nolimits_{i=1}^n → $\sum\nolimits_{i=1}^n$ 。

极限、最值：另一类「带下标」的算子

$\lim$ 、 $\max$ 、 $\min$ 这些虽然是单词（不是大符号），但排版上和巨算符类似——下标（极限的趋向、最值的范围）在行间排到正下方：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \max_{1 \le i \le n} a_i $$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \max_{1 \le i \le n} a_i$

命令	效果	命令	效果
`\lim`	$\lim$	`\sup`	$\sup$
`\max`	$\max$	`\inf`	$\inf$
`\min`	$\min$	`\limsup`	$\limsup$
`\gcd`	$\gcd$	`\liminf`	$\liminf$

（这些「函数名式算子」和 \sin、\log 是一家，下一站的函数与算子会系统讲。）

行内也想「大而全」：\displaystyle

在行内文字里，你偶尔希望某个求和 / 积分大大方方地带上下限显示，而不是缩成一小坨。用 \displaystyle 局部强制行间样式：

你敲的	效果
`\sum_{i=1}^{n}`	$\sum_{i=1}^{n}$ （行内默认，小）
`\displaystyle\sum_{i=1}^{n}`	$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}$ （强制大）

代价是这一行会被撑高，所以别滥用——通常真需要展示的公式，直接写成行间 $$...$$ 更合适。

小结与下一章

巨算符的要点：上下限就是 ^ _；行间排上下、行内排侧边；积分限默认侧边，用 \limits / \nolimits 可强制切换；行内想放大用 \displaystyle。 求和、积分、极限这几个天天见的构造，就拿捏住了。

到目前为止，符号都还「素面朝天」。数学里还常给字母戴帽子——估计值 $\hat{y}$ 、向量 $\vec{v}$ 、均值 $\bar{x}$ 、导数 $\dot{x}$ 。这些「数学重音」是下一章。👉 数学重音：帽子、箭头与横线。

参考文献

[1] Overleaf.「Integrals, sums and limits.」https://www.overleaf.com/learn/latex/Integrals,_sums_and_limits —— 巨算符与上下限。
[2] KaTeX.「Supported Functions — Big Operators.」https://katex.org/docs/supported.html#big-operators —— 本站可用巨算符。

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