分数与根式 · frac 与 sqrt · LaTeX 完全上手指南

分数 \frac{a}{b}、根式 \sqrt{x}、开 n 次方 \sqrt[n]{x}、二项式系数 \binom{n}{k}——这一章讲全，顺带说清行内 \frac 为什么显得小、\dfrac 与 \cfrac 各解决什么问题。

分数与根式 · frac 与 sqrt

分数和根号，是数学公式里出现频率最高的构造之一。命令很好记——\frac、\sqrt——但「行内分数为什么那么小」「连分数怎么排」「根号里套根号」这些细节，值得一次讲清。

分数：`\frac{分子}{分母}`

\frac 后面两个花括号，先分子后分母：

你敲的	效果
`\frac{1}{2}`	$\frac{1}{2}$
`\frac{a+b}{c-d}`	$\frac{a+b}{c-d}$
`\frac{\partial f}{\partial x}`	$\frac{\partial f}{\partial x}$
`\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}`	$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

分子分母只要不止一个字符，记得用 {} 打包（和上下标一个道理）。

行内为什么「小一号」：\dfrac 与 \tfrac

同一个 \frac，在行内和行间大小不同：行内会被压小以免撑高行距。写在正文里的 $\frac{1}{2}$ 明显比行间的小。有时你希望行内分数也大大方方地显示，用 \dfrac（display frac，强制行间大小）；反过来，想在行间里塞一个小分数，用 \tfrac(text frac):

命令	行内效果	说明
`\frac{1}{2}`	$\frac{1}{2}$	默认，行内自动缩小
`\dfrac{1}{2}`	$\dfrac{1}{2}$	强制大号，行内也舒展
`\tfrac{1}{2}`	$\tfrac{1}{2}$	强制小号

背后是 LaTeX 的样式(style)机制：公式有 displaystyle（大）和 textstyle（小）之分，行间默认前者、行内默认后者。\dfrac / \tfrac 就是局部切换这个样式。同样地，想让行内的求和 $\sum$ 、积分也显示成「大号带上下限」，可以用 \displaystyle（见巨算符一章）。

连分数：\cfrac

普通 \frac 层层嵌套会越缩越小、越挤越乱。连分数专用 \cfrac，保持每一层一样大、对齐美观：

$$ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}} $$

$\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}$

对比一下，同样的式子用嵌套 \frac 会挤成一团。写连分数（数论、逼近论常见），认准 \cfrac。

根式：\sqrt

\sqrt{} 是平方根，根号会自动包住里面的内容、自动变长：

你敲的	效果
`\sqrt{2}`	$\sqrt{2}$
`\sqrt{x^2 + y^2}`	$\sqrt{x^2 + y^2}$
`\sqrt{\frac{a}{b}}`	$\sqrt{\frac{a}{b}}$

开 n 次方用可选参数 [n]，写在根号左上角：

你敲的	效果
`\sqrt[3]{x}`	$\sqrt[3]{x}$
`\sqrt[n]{x}`	$\sqrt[n]{x}$
`\sqrt[4]{x^2+1}`	$\sqrt[4]{x^2+1}$

注意 [n] 是方括号、{x} 是花括号，别写反。嵌套根号也不怕：\sqrt{1+\sqrt{2}} → $\sqrt{1+\sqrt{2}}$ ，根号会自动错开层次。

二项式系数：\binom

组合数（n 选 k）用 \binom{n}{k}，渲染成一个不带横线的「上下叠加 + 大括号」：

你敲的	效果
`\binom{n}{k}`	$\binom{n}{k}$
`\binom{n}{2}`	$\binom{n}{2}$
`\dbinom{n}{k}`	$\dbinom{n}{k}$ （强制大号）

和分数一样，\binom 也有 \dbinom（大）/ \tbinom（小）控制尺寸。它和 \frac 长得像，区别就是没那条横线——别用 \frac 加括号硬凑组合数，\binom 才是正解。

[1] Overleaf.「Fractions and binomials.」https://www.overleaf.com/learn/latex/Fractions_and_binomials —— 分数、连分数、二项式系数。
[2] KaTeX.「Supported Functions.」https://katex.org/docs/supported.html —— \frac / \sqrt / \binom 及尺寸变体。

分数与根式 · frac 与 sqrt